Falvay Attila tizenhat évesen nyert felvételt a Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskolára, ahol Szemjon Sznyitkovszkij volt a tanára. Kamarazenét Kurtág György és Mihály András osztályában végzett. 1979-ben a II. Szigeti József Nemzetközi Hegedűversenyen második helyezést, majd a következő évben a Hubay-versenyen első díjat nyert. 1982-ben Dorothy Delay meghívására Aspenben (USA) kurzuson és fesztiválon vett részt. Sívó József professzor tanítványaként a Bécsi Zeneakadémián folytatta tanulmányait. 1980-ban csatlakozott a Kodály Quartetthez. Az együttesben végzett munkájáért 1990-ben Érdemes Művész címet, 1996-ban Bartók–Pásztory-díjat kapott. A kvartettjáték mellet számos alkalommal ad szólókoncerteket. Olyan neves karmesterekkel lépett fel, mint Kobayashi Ken-Ichiro, Vásáry Tamás vagy Kocsis Zoltán. Szólistaként többször turnézott Japánban és Európa számos országában. 1989–2005 között a Magyar Rádió Szimfonikus Zenekarának vezető koncertmestere, 2005-től a Nemzeti Filharmonikus Zenekar koncertmestere. 2006–2010 között az International Menuhin Music Academy (IMMA) hegedű és kamarazene professzora volt (Blonay, Gstaad, Bern). 2015-től a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem kamarazene tanszékének adjunktusa. A Magyar Művészeti Akadémia köztestületi tagja.  2022. március 15-i nemzeti ünnepünk alkalmából Kossuth-díj kitüntetésben részesült a Kodály Vonósnégyes tagjaként.